杜哈梅积分

杜哈梅积分（Duhamel\'s integral）是一种用于求解线性系统在任意外载激励下响应的方法。它基于叠加原理，将连续时间域的外载激励通过一系列离散的脉冲激励来近似，然后通过数值积分将这些脉冲激励的响应函数相加，得到系统的总响应。

杜哈梅积分的基本原理：

对于单自由度线性系统，其运动方程可以表示为：

\\[ m \\frac{d^2x}{dt^2} + c \\frac{dx}{dt} + kx = p（t） \\]

其中：

\\（ m \\） 是系统的质量；

\\（ x \\） 是系统的振幅；

\\（ t \\） 是时间；

\\（ c \\） 是粘性阻尼系数；

\\（ k \\） 是系统的刚度；

\\（ p（t） \\） 是随时间变化的外载。

当系统在 \\（ t = 0 \\） 时受到单位脉冲载荷作用，即 \\（ p（t） = \\delta（t） \\），系统的单位脉冲响应函数可以表示为：

\\[ h（t） = \\frac{1}{m\\omega_0} e^{-\\zeta\\omega_0 t} \\sin（\\omega_0 t） \\]

其中：

\\（ \\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k}{m}} \\） 是无阻尼状态下的固有圆频率；

\\（ \\zeta = \\frac{c}{2\\sqrt{mk}} \\） 是系统的阻尼比。

对于任意时刻 \\（ \\tau \\） 受到的脉冲激励，系统的响应可以表示为一系列脉冲激励响应的叠加：

\\[ x（t） = \\int_0^t h（\\tau） p（t-\\tau） d\\tau \\]

当 \\（ p（t） \\） 是狄拉克δ函数时，上式可以简化为：

\\[ x（t） = \\int_0^t h（\\tau） \\delta（t-\\tau） d\\tau = h（t） \\]

杜哈梅积分的一般形式：

将 \\（ h（t-\\tau） \\） 的表达式代入，得到杜哈梅积分的一般形式：

\\[ x（t） = \\int_0^t \\frac{1}{m\\omega_0} e^{-\\zeta\\omega_0 （t-\\tau）} \\sin（\\omega_0 （t-\\tau）） p（\\tau） d\\tau \\]

应用实例：

在实际应用中，可以通过数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）对上述积分进行计算，以得到系统的响应时程曲线。

计算程序示例（使用MATLAB）：

```matlab% 定义被积函数f = @（t） exp（-3.6895*t）.*（（0.1307*cos（73.698*t） + （（-71.268 + 0.05*73.790*0.1307）/73.698）*sin（73.698*t）））；% 定义积分区间和步长a = 0.08；b = 2；h = （b - a） / 10000；% 使用梯形法进行积分A = a:h:b；B = f（A）；% 计算积分值fv = 0.5*（B（1） + 2*sum（B（2:end-1）） + B（end））*h；% 输出积分结果disp（[\'加速度最大值：\', num2str（fv）, \'m/s^2\']）；```

以上代码示例展示了如何使用MATLAB进行杜哈梅积分的计算，求出无阻尼单自由度体系在特定外载作用下的响应。

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